تئوری خطاها در نقشه برداری [از صفر تا صد]

هدف اندازه گیری ، تعیین مقدار یک کمیت است و در دنیای واقعی نیز اختلافی بین عدد اندازه گیری شده و مقدار واقعی کمیت وجود دارد و به این اختلاف خطا گفته می شود.

در این مقاله عوامل خطا ، انواع خطا و برخی از تعاریف خطا را مورد بررسی قرار می دهیم.

تمرکز این مقاله ، بررسی موارد ذکر شده در حیطه نقشه برداری است (بررسی انواع خطاها در نقشه برداری).

1 – عوامل خطا

در ادامه عوامل ایجاد خطا را در 3 دسته کلی بیان می کنیم :

1. عوامل طبیعی
2. عوامل دستگاهی
3. عوامل انسانی

در ادامه هر یک از عوامل خطا را به دسته های کوچک تری تقسیم می کنیم.

1-1 – عوامل طبیعی

• وزش باد
• شکست نور
• تغییرات دمای هوا
• تشعشع آفتاب
• کرویت زمین

2-1 – عوامل دستگاهی

• نقص دستگاه ها
• تنظیم نبود و یا پایین بود ارزش تقسیمات آن ها

3-1 – عوامل انسانی

• کم دقتی
• نارسایی حواس
• نداشتن تجربه و تسلط

2 – انواع خطا

پس از مطالعه عوامل ایجاد کننده خطا ، می پردازیم به انواع خطاها در نقشه برداری :

1. اشتباه
2. خطای سیستماتیک
3. خطای تصادفی

البته بایستی توجه کرد که در یک اندازه گیری ممکن است چندین نوع خطا حادث شود.

حال هر یک از این خطا ها را مورد بررسی قرار می دهیم.

1-2 – اشتباه

این نوع خطا معمولاً به علت عوامل انسانی است.

برای مثال اگر آزمایشگر در حین ترازیابی فراموش کند که بایستی دوربین را تراز کند و یا هنگام قرائت اعداد را اشتباه بخواند اختلافی بین نتیجه اندازه گیری و مقدار واقعی کمیت به وجود می آید که به این نوع خطا اشتباه می گویند.

لازم به ذکر است که خطای ایجاد شده در این نوع معمولاً بسیار زیاد است.

2-2 – خطای سیستماتیک

خطای سیستماتیک به خطا هایی گفته می‌شود که علت ، جهت و مقدار تمامی خطاها مشخص و دارای علامت یکسانی اند.

برای مثال اگر متری فلزی را گرم کنیم ، طول آن افزایش پیدا می‌کند و در تمامی اندازه گیری های خود طول اجسام را کمتر از حد واقعی نمایش می دهد.

از آنجا که پدید آمدن خطای سیستماتیک در نقشه برداری بسیار متداول است ، شناخت آن بسیار ضروری است.

3-2 – خطای تصادفی

این نوع از خطا ، معمولا به علت نارسایی حواس انسانی و پایین بودن دقت و یا نقص دستگاه های اندازه گیری است.

اندازه این خطا معمولا از خطا های سیستماتیک کم تر است.

برای مثال هنگام اندازه گیری طول یک جسم ممکن است در قرائت طول متر و یا خط کش به علت نارسایی چشم و یا پایین بودن ارزش تقسیمات ، یک میلی ممتر کم تر و یا بییش تر قرائت کنیم.

3 – روش های مقابله با خطا

برای مشخص کردن و برطرف کردن خطاها دو روش وجود دارد که در ادامه این روش ها را مورد بررسی قرار می دهیم.

1. تکرار اندازه گیری ها مقایسه نتایج با هم
2. کنترل نتایج اندازه گیری ها با استفاده از روش های هندسی

1-3 – تکرار اندازه گیری ها مقایسه نتایج با هم

در این روش دو راه حل وجود دارد :

1. تکرار آزمایش و یادداشت اعداد قرائت شده و در نهایت مقایسه آن ها با یکدیگر
2. استفاده از روش رفت و برگشتی

روش اول که مشخص است ولی در روش دوم مراحل به شرح زیر است  :

1. در ابتدا اندازه گیری را از نقطه a به b انجام می دهیم
2. بار دیگر اندازه گیری را انجام می دهیم ولی این بار از نقطه b به a
3. از آنجا که در حالت ایده آل و بدون خطا بایستی اندازه های به دست آمده یکی باشد می توان با محاسبه اختلاف این دو مقدار خطای حدودی را محاسبه کرد

در هر دو روش مذکور خط را محاسبه می‌کنیم و در صورتیکه میزان خطا از حداکثر خطای قابل قبول بیشتر باشد بایستی آزمایش را مجدداً تکرار کنیم و دیگر با نتایج به دست آمده کاری نداریم.

ولی اگر میزان خطا از حداکثر خطای قابل قبول کم تر باشد می‌توان با اضافه کردن مقداری به نتیجه هر یک از اندازه گیری ها ، خطا را سرشکن کرد.

2-3 – کنترل نتایج اندازه گیری ها با استفاده از روش های هندسی

این روش بسیار ساده است ؛ برای مثال در تعیین زاویه ، اگر مثلثی شکل گیرد و ما اندازه دو زاویه از آن را داشته باشیم و از آنجا که می دانیم بایستی مجموع زوایای مثلث 180 درجه باشد ، به صورت هندسی زاویه حقیقی را پیدا می کنیم و آن را با زاویه به دست آمده در آزمایش مقایسه می کنیم.

همانطور که در روش قبل هم ذکر شد در صورتیکه میزان خطا از حداکثر خطای قابل قبول بیشتر باشد بایستی آزمایش را مجدداً تکرار و در غیر این صورت خطا را سرشکن کنیم.

4 – تعاریف مربوط به خطا

در مبحث خطا ها تعاریفی داریم که در ادامه هر یک را بررسی خواهیم کرد.

1-4 – خطای حقیقی

اگر کمیتی را n بار اندازه گیری کنیم به n عدد مختلف و یا بعضا مشابه خواهیم رسید ؛ این اعداد را به ترتیب a1,a2,a3,…an می نامیم و مقدار واقعی که مجهول است را a (بدون اندیس) می نامیم.

با فرض روابط زیر ، ei ها را خطای حقیقی نامگذاری می کنیم :

2-4 – نزدیک ترین عدد به مقدار واقعی

از آن جا که هرگز نمی توان به اندازه واقعی یک کمیت دست یافت و این کمیت همواره برای ما مجهول است ، بایستی عددی را مشخص کرد که بیش ترین قرابت را با عدد مذکور (مقدار واقعی) داشته باشد.

پس از محاسبات مختلف ریاضی مشخص شد که نزدیک ترین عدد به مقدار واقعی یک کمیت ، میانگین اعداد اندازه گیری شده در هر مرحله است.

تذکر : در فرمول بالا ، مقدار a برابر با مقدار هر بار اندازه گیری است.

تذکر : اندازه گیری فاصله ها در نقشه برداری اصول و قوانینی دارد که بایستی مورد توجه قرار گیرد.

3-4 – خطای معیار میانگین

خطای معیار میانگین ، تقریبی از اختلاف میانگین اندازه گیری ها و مقدار واقعی ارائه می کند.

فرمول خطای معیار در نقشه برداری به شرح زیر است.

البته نمی توان خطای معیار میانگین را با روش فوق به دست آورد چرا که a مشخص نیست.

بنابر این بایستی قدر مطلق خطای معیار میانگین را با فرمول زیر تخمین زد.

تذکر : از فرمول بالا مشخص است که هر چه تعداد دفعات اندازه گیری بیش تر باشد ، مخرج کسر بزرگ تر و در نتیجه خطا کم تر می شود.

4-4 – خطای معیار

خطای معیار ، معیاری است برای مقایسه دقت اندازه گیری ها.

البته نمی توان خطای معیار با روش فوق به دست آورد چرا که a مشخص نیست و در نتیجه e هم مشخص نیست.

بنابر این بایستی خطای معیار را با فرمول زیر تخمین زد.

تذکر : در فرمول بالا vi همان خطای ظاهری است که در بخش بعد (4-5) معرفی شده است.

مثالی برای استفاده از این تعریف ، خطاهای مندرج روی بسته مندی مواد خوراکی است.

5-4 – خطای ظاهری

خطای ظاهری به اختلاف مقدار اندازه گیری شده کمیت در هر بار و میانگین کل اندازه گیری ها می گویند.

6-4 – خطای متوسط حسابی

خطای متوسط حسابی برابر با میانگین مقدار عددی خطا های ظاهری است.

7-4 – خطای ماکزیمم

در تئوری خطاها تمایزی بین خطا و اشتباه وجود دارد.

در واقع اشتباه ، اختلاف بسیار فاحشی با جواب صحیح دارد و بایستی از نتایج حذف شود و به همین دلیل شناخت خطای ماکزیمم در نقشه برداری ، از اهمیت ویژه ای برخوردار است.

خطای ماکزیمم در واقع خطایی است که احتمال وقوعش کم تر از 1 درصد است و روش محاسبه اش نیز به شرح زیر است.

خطای ماکزیمم 2.5 برابر خطای معیار است ؛ در نتیجه بایستی اعدادی را که قدر مطلق خطای ظاهری شان 2.5 برابر خطای معیار است را از لیست نتایج حذف کنیم.

8-4 – خطای مطلق

خطای مطلق به تفاضل مقدار واقعی کمیت و نتیجه اندازه گیری کمیت گفته می شود.

نکته حائز اهمیت آن است که در صورت تکرار اندازه گیری ها ، خطای معیار میانگین به عنوان خطای مطلق در نظر گرفته می شود.

9-4 – خطای نسبی (دقت نسبی)

خطای نسبی به حاصل تقسیم خطای مطلق بر مقدار کمیت اطلاق می شود.

فرمول خطای نسبی در نقشه برداری به شرح ذیل است.

بنابر این با استفاده از فرمول بالا ، با در اختیار داشتن خطای طول اندازه گیری شده و خطای نسبی ، خطای مطلق ؛ و با در اختیار داشتن خطای طول اندازه گیری شده و خطای مطلق ، خطای نسبی را محاسبه کنید.

هر چند تفاوت خطای مطلق و نسبی از فرمول های آن ها مشخص است ولی از لحاظ مفهومی نیز فرق بین خطا مطلق و خطا نسبی به شرح زیر است:

فرض کنید مسیری به طول 200 کیلومتر را با 1 متر خطا اندازه گیری کرده اید.

همچنین شخص دیگری مسیری به طول 1 کیلومتر را نیم متر خطا اندازه گیری کرده است.

حال اگر دقت اندازه گیری مورد بررسی قرار گیرد ، شخص دوم خطای مطلق کم تری داشته است ولی شما خطای نسبی کم تر.

بنابر این مثال بالا مبیّن تفاوت خطای نسبی و مطلق است.

5 – خطای اندازه گیری های غیر مستقیم

برای گزارش اندازه و خطای بسیاری از موارد ، مانند مساحت ، حجم و … بایستی اندازه و خطای هر بُعد را تعیین کرد و با استفاده از فرمول زیر ، خطای نهایی را محاسبه کرد.

در ادامه برای هر یک از حالت های اندازه گیری غیر مستقیم روش را ذکر می کنیم.

1-5 – خطای مجموع دو یا چند کمیت

در صورتی که 3 کمیت را با یکدیگر جمع کنیم خطای مجموع از رابطه زیر به دست می آید.

خطا های نوشته شده زیر رادیکال ، خطا های معیاری است که در محاسبه هر یک از ابعاد به دست آورده ایم.

در رابطه زیر از 3 بُعد دارای خطا استفاده شده و مسائل گوناگون با تغییر تعداد خطا های زیر رادیکال خطایشان محاسبه می شود.

2-5 – خطای تفاضل دو کمیت

در صورتی که 2 کمیت را از یکدیگر کم کنیم خطای تفاضل از رابطه زیر به دست می آید.

خطا های نوشته شده زیر رادیکال ، خطاهای معیاری است که در محاسبه اندازه هر یک از کمیت به دست آورده ایم.

در رابطه زیر خطای متغیر S محاسبه می شود که حاصل تفاضل دو متغیر x و y است.

3-5 – خطای حاصل ضرب دو یا چند کمیت

در صورتی که چند کمیت مانند x و y و z را در یکدیگر ضرب کنیم و برابر با متغییر p قرار دهیم خطای حاصل ضرب از رابطه زیر به دست می آید.

4-5 – خطای خارج قسمت دو کمیت

اگر متغیری مانند Q بیانگر حاصل تقسیم y بر x باشد ؛ خطای معیار Q از رابطه زیر به دست می آید.

سوالات متداول

سوال : فرمول خطای نسبی چیست و چه مفهومی دارد؟

پاسخ : خطای نسبی به حاصل تقسیم خطای مطلق بر مقدار کمیت اطلاق می شود و فرمول آن را می توانید در همین صفحه مشاهده نمایید.

سوال : خطای معیار اندازه گیری چیست و فرمول خطای معیار اندازه گیری چیست؟

پاسخ : خطای معیار ، معیاری است برای مقایسه دقت اندازه گیری ها است و فرمول آن را می توانید در همین صفحه مشاهده نمایید.